インプラントをしたいが、抜歯の際に歯がうまく抜けず根っこが残っていると言われた

残念ながら、歯があるところにはインプラントはできません。しっかりと歯を抜いてから、インプラント治療に移行しましょう。
ちなみに、その歯が抜けないと言われている歯医者ではインプラントはしない方が良いと思います。なぜなら、歯を抜くことよりインプラント治療ははるかに難しいからです。

歯根が残存しているケースにインプラントをする場合はケースにもよりますがほとんどのケースにおいてはインプラントと同時に行います。
手術回数を減らすことができますが難易度が高くなるためキャリアのある先生に診てもらって下さい。
また手術のタイミングですがケースにもよりますが2から3カ月を目途にすれば良いでしょう。

口腔内の状態がわかりませんので、歯科医院を」受診して同じ質問をすることをお勧めします。

一般的な話をすれば、抜歯時に第一大臼歯の歯根の一部が折れて残る事があります。

これは、二ヶ月くらいで抜きやすい場所に移動してくる事が多いのでその頃に再抜歯します。

レントゲンで位置を確認して歯肉を切開して抜歯できます。大学病院に行かなくても一般的な開業医で抜歯してくれると思います。

歯根を残したままインプラントをやるメリットは少ないでしょうから、抜歯をお勧めします。

隣在歯を失った場合の歯並びの変化はあるでしょうが、半年くらい影響はないと思います。歯が動く速さは個人差があり、歯周病の人や若年者は良く動きます。

一時的に部分入れ歯を入れて隣の歯を抑える方法もありますので、歯科医院で相談してみてください。